Mécanique non linéaireMéthodes numériques et expérimentales (GSI)

Ce cours se décline en 2 parties principales :

La première partie concerne le calcul de structures par éléments finis prenant en compte un comportement matériau non linéaire, puis en présence de non-linéarités géométriques et avec la prise en compte des grandes transformations.

La seconde partie concerne aborde la notion de vibrations non linéaires et consiste à :

• Appréhender l’influence de non-linéarités géométriques sur les vibrations de systèmes mécaniques simples en régimes libre et forcé.
• Appréhender les notions de stabilité linéaire et d’oscillations auto-entretenues.
• S’initier aux méthodes dites perturbatives pour la résolution de systèmes vibrants non linéaires.
• Mettre en œuvre ces méthodes à l’aide de programmes Python.

Programme du cours :

Partie 1 : calcul de structures non linéaires par éléments finis

I. Comportement non-linéaire en petite perturbation

1. Rappel d’éléments finis
2. Rappel de plasticité, visco-élasticité et endommagement isotrope.
3. Rappel du schéma de Newton
4. Intégration d’une loi de comportement - Jacobienne.– Algorithme de « return mapping »
5. Équilibre : Étape globale et étape locale en non linéaire
6. Exemple unidimensionnel dans Matlab
7. Application dans Abaqus standard : cas élastoplastique avec des contacts.

II. linéarités géométriques et grandes transformations

1. Introduction sur la base d’un calcul d’impact
2. Notions élémentaires pour les grandes transformations
3. Mesures de déformation
4. Mesures de contrainte
5. Cas du cisaillement simple ; approche analytique et applications à Abaqus
6. Limiteur de localisation et dépendance au maillage ; Application à la poutre 1D - Comparaison avec les résultats obtenus sur ABAQUS.

Partie 2 : Vibrations non linéaires

1. Introduction et résultats préliminaires. Généralités sur les systèmes mécaniques non linéaires. Exemples introductifs.
2. Méthodes d’analyse. Stabilité des systèmes dynamiques. Méthodes perturbatives.
3. Forçage harmonique de l’oscillateur de Duffing.
4. Oscillations auto-entretenues.

• « Computational Inelasticity », J.C. Simo, T.J.R. Hughes, Mechanics and materials, Springer,
• Documentation Abaqus : Intégration d’une loi de comportement
• Documentation Abaqus : Deformation, Strain and Strain rates ; Stress measures, stress rates.
• « Mechanics of deformable Solids », Linear and Nonlinear, Analytical and Computational Aspects, Issam Doghri, Springer, ISBN 3-540-66960-4.
• A.H. Nahfeh et D.T. Mook: Nonlinear Oscillations. John Wiley & Sons, Ltd, 2007.
• A.H. Nayfeh: Introduction to Perturbation Techniques. Wiley Classics Library. John Wiley & Sons, Ltd, 2011.
• D.H. Hodges et G.A. Pierce: Introduction to Structural Dynamics and Aeroelasticity. Cambridge, University Press, 2011.